§7.6 空间曲线及其方程

一 空间曲线的一般方程

空间曲线可看作两曲面的交线，设

和

是两曲面的方程，它们的交线为。曲线上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面方程，因此，应满足方程组

(1)

反过来，如果点不在曲线上，那么它不可能同时两曲面上。所以，它的坐标不满足方程组(1)。由上述两点可知：曲线可由方程组(1)表示。

方程组(1)称作空间曲线的一般方程。

二 空间曲线的参数方程

对于空间曲线， 若上的动点的坐标可表示成为参数的函数

(2)

随着的变动可得到曲线上的全部点，方程组(2)叫做空间曲线参数方程。

【例1】如果空间一点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升(其中：，均为常数)，那未点的轨迹叫做螺旋线，试建立其参数方程。

解：取时间为参数。

设当 时，动点与轴上的点 重合，经过时间，动点由运动到。 记在面上的投影为，它的坐标为。

由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，经过时间，

从而

又由于动点同时以线速度沿平行于轴正方向上升，所以

因此，螺旋线的参数方程为

或令，则方程形式可化为

螺旋线有一个重要性质：

当从变到时，由变到；这表明当转过角时，点沿螺旋线上升了高度；

特别地，当转过一周，即时，点就上升固定的高度为，这个高度在工程技术上叫螺距。

空间曲线的一般方程也可以化为参数方程，下面通过例子来介绍其处理方法。

【例2】将空间曲线 表示成参数方程。

解：由方程组消去得

由于在此椭圆柱面上，故的方程可用如下形式来表示

(1)、如果我们以作为参数，即令

则

从而得到曲线的参数方程

且参数的取值范围为

(2)、如果令，由椭球柱面方程有 ，而

则曲线又可表示成为

一般来说：

1、空间曲线总可以用参数形式给出它的方程；

2、随着参数选取的不同，方程的形式会发生变化。

三 空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线的一般方程为

(1)

下面，我们来研究由方程组(1)消去变量之后所得到的方程

(2)

因(2)是由(1)消去后所得，则当坐标 适合方程组(1)时，前两个坐标必定适合方程(2)，即曲线上的所有点都在由(2)表示的曲面上。

而方程(2)表示一个母线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线。以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面；

投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成

同理，消去方程组( 1) 中的变量 或 ，再分别与 或 联立，我们便得到了空间曲线在 或 面上的投影曲线方程。

或

【例3】求曲线

在面上的投影曲线方程。

解：先求包含曲线且母线平行于轴的柱面，从方程组

中消去，有

以代入方程组中第一个方程得到

这便是所要求的柱面方程。

于是，曲线在面上的投影曲线为

有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，因此，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域。

投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定。

【例4】求上半球面 和锥面 所围成的空间立体在面上的投影区域。

解：上半球面与锥面的交线为

由方程组消去变量，有

这是母线平行于轴的投影柱面，空间立体恰好镶在该柱体内，该柱体在面的交线所包围的区域正好是在面上的投影区域。

投影柱面在面上的交线为

这是一个圆，它所包围的区域为。