§7.6 空间曲线及其方程
一
空间曲线的一般方程
空间曲线可看作两曲面的交线,设
和
是两曲面的方程,它们的交线为。曲线上的任何点的坐标
应同时满足这两个曲面方程,因此,应满足方程组
(1)
反过来,如果点不在曲线
上,那么它不可能同时两曲面上。所以,它的坐标不满足方程组(1)。由上述两点可知:曲线
可由方程组(1)表示。
方程组(1)称作空间曲线的一般方程。
二 空间曲线的参数方程
对于空间曲线, 若
上的动点的坐标
可表示成为参数
的函数
(2)
随着的变动可得到曲线
上的全部点,方程组(2)叫做空间曲线参数方程。
【例1】如果空间一点在圆柱面
上以角速度
绕
轴旋转,同时又以线速度
沿平行于
轴的正方向上升(其中:
,
均为常数),那未点
的轨迹叫做螺旋线,试建立其参数方程。
解:取时间为参数。
设当
时,动点与
轴上的点
重合,经过时间
,动点由
运动到
。 记
在
面上的投影为
,它的坐标为
。
由于动点在圆柱面上以角速度绕
轴旋转,经过时间
,
从而
又由于动点同时以线速度沿平行于
轴正方向上升,所以
因此,螺旋线的参数方程为
或令,则方程形式可化为
螺旋线有一个重要性质:
当从
变到
时,
由
变到
;这表明当
转过角
时,
点沿螺旋线上升了高度
;
特别地,当转过一周,即
时,
点就上升固定的高度为
,这个高度在工程技术上叫螺距。
空间曲线的一般方程也可以化为参数方程,下面通过例子来介绍其处理方法。
【例2】将空间曲线
表示成参数方程。
解:由方程组消去得
由于在此椭圆柱面上,故
的方程可用如下形式来表示
(1)、如果我们以作为参数,即令
则
从而得到曲线的参数方程
且参数的取值范围为
(2)、如果令,由椭球柱面方程有
,而
则曲线又可表示成为
一般来说:
1、空间曲线总可以用参数形式给出它的方程;
2、随着参数选取的不同,方程的形式会发生变化。
三
空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程为
(1)
下面,我们来研究由方程组(1)消去变量之后所得到的方程
(2)
因(2)是由(1)消去后所得,则当坐标
适合方程组(1)时,前两个坐标
必定适合方程(2),即曲线
上的所有点都在由(2)表示的曲面上。
而方程(2)表示一个母线平行于轴的柱面,因此,此柱面必定包含曲线
。以曲线
为准线,母线平行于
轴的柱面叫做关于
面的投影柱面;
投影柱面与面的交线叫做空间曲线
在
面上的投影曲线,该曲线的方程可写成
同理,消去方程组( 1) 中的变量
或
,再分别与
或
联立,我们便得到了空间曲线
在
或
面上的投影曲线方程。
或
【例3】求曲线
在面上的投影曲线方程。
解:先求包含曲线且母线平行于
轴的柱面,从方程组
中消去,有
以代入方程组中第一个方程得到
这便是所要求的柱面方程。
于是,曲线在
面上的投影曲线为
有时,我们需要确定一个空间立体(或空间曲面)在坐标面上的投影,一般来说,这种投影往往是一个平面区域,因此,我们称它为空间立体(或空间曲面)在坐标面上的投影区域。
投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定。
【例4】求上半球面 和锥面
所围成的空间立体
在
面上的投影区域
。
解:上半球面与锥面的交线为
由方程组消去变量,有
这是母线平行于轴的投影柱面,空间立体
恰好镶在该柱体内,该柱体在
面的交线所包围的区域正好是
在
面上的投影区域
。
投影柱面在面上的交线为
这是一个圆,它所包围的区域为。